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【SUPD-060】DIGITAL CHANNEL AYA 一个浅易的概率几何问题，竟与黎曼函数有着出东说念主料到的关连
发布日期：2024-08-23 20:45 点击次数：179
图片【SUPD-060】DIGITAL CHANNEL AYA
黎曼ζ函数在数论中占有伏击地位，揭示了好多真切的数学气候。一个引东说念主入胜的问题是，它与一个看似浅易的几何问题有着出东说念主料到的关连：假定你站在一个无限的网格平面上。你不错朝扫数标的无限远地看去，但你不成透视网格点：如若某个网格点位于你的视野中，则该点被笼罩。你能看到几许比例的网格点呢？这是一个极度真理真理的问题，它不依赖于肇端位置。我需要略微解释一下这个问题，因为你不错看到无限多的点，也有无限多的点你看不到，那咱们如何清醒它们的比例呢？以及咱们商量的“网格”是什么真理呢？对于网格，不错假定它们指的是整数点。这些点（x, y）位于平面上，其中x和y齐是整数，不错（不失一般性）假定咱们站在坐标系的原点（0,0）。解释这个问题的最浅易表情是举一个例子。是以假定你站在一个无限的网格上，并将你的位置设为原点（0, 0）。然后很光显，点（9, 4）从原点可见，莫得其他点挡住视野。图片
另一方面，点（6, 2）是不可见的，因为点（3, 1）“挡在了路上”。图片
如若你仔细思思，你会发现这是因为这两个点齐位于穿过（0, 0）的一条线上。因此，其中一个点必须是另一个点的（标量）倍数。换句话说：这两个坐标必须有大于1的人人因子。也便是说，如若两个坐标的最大左券数大于1，那么该点从原点不可见。在数学术语中，咱们写稿gcd(x, y) > 1。这个小分析使咱们大要略微滚动一下问题。让咱们在原点周围画一个边长为2r的正方形，并策画正方形内可见的点数。然后将这个数量除以正方形内的总点数，获得每个这么的数r的函数CP(r)。图片
咱们不错明晰地界说C(r) = 正方形内互质数对的数量 / 正方形内的总点数。当今的问题是，跟着r趋近于无限大，CP(r)的极限是几许？让咱们创建一些Python代码来贬责这个问题。from tqdm import tqdmimport matplotlib.pyplot as pltdef is_coprime(x, y): x, y = abs(x), abs(y) for i in range(2, max(x, y) + 1): if x % i == 0 and y % i == 0: return False return Truedef CP(r): visible = 0 for x in range(-r, r): for y in range(-r, r): if is_coprime(x, y): visible += 1 return visible / (2*r)**2r = 1000print(f"\nThe fraction of visible points with r = {r} is about: {round(CP(r), 5)}\n")print("Tracking convergence...")history = []for i in tqdm(range(1, 300)): history.append(CP(i))plt.plot(range(1, len(history)+1), history)plt.show()如若运行这段代码，你会看到两个输出。领先，它会print：r = 1000时，可见点的比例约为：0.60798其次，会获得一个照管图的图像：
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是以无论这个数字是几许，它齐接近于0.6079。这个数字是对上述问题的一个近似谜底，即当咱们站在原点时，咱们不错看到约60.79%的点。通过略微修改代码，不错获得一个象限内可见点的图：图片
珍惜，在垂直线上的点越多，相应的数字就越“质数”，点越少就越是合数。你能把柄这幅图找出1到100之间的孪生素数吗？概率秩序让咱们从概率的角度来接头这个问题。咱们需要策画当r极度大时选择一个可见点的概率。咱们该如何策画呢？赶紧选择一个可见点或等效地选择一个互质对P = (x, y)的概率与莫得任何素数同期整除x和y的概率疏导。在这种情况下，实质上更容易策画这个事件的互补事件，即咱们选择的点不可见的概率是几许？要使这种情况发生，咱们需要一个质数同期整除x和y。质数p整除x的概率是1/p，因为在数轴上每隔p个数就有一个数能被p整除，质数p整除y的概率亦然1/p。如若咱们以为这些事件是零丁的，那么p同期整除x和y的概率便是1/p²。不同期整除x和y的概率是1-1/p²。由于这需要对扫数素数齐竖立，因此莫得任何素数同期整除x和y，因此点（x, y）可见的概率由乘积给出：图片
这不错用更紧凑的记号写成：图片
当张开这个乘积时，咱们获得了一些形如1/m²的数的总数，但不是扫数这么的数。具体来说，咱们获得一系列上述体式的数字，其中m是无日常因子的，意味着莫得任何日常数不错整除m。等效地，m的质因数明白仅由不同的质数构成。此外，这些数字的记号（正或负）由m的质因数的数量决定：如若m的质因数数量是奇数，那么这个数字便是负数；如若质因数数量是偶数，则这个数字是正数。这个函数被称为默比乌斯函数，用μ暗意。从上头咱们不错看到：图片
是以这个序列运行于图片
暴力小说如若取这6个数字并将它们相加，将获得苟简0.606。但这个非凡的数字到底是什么？咱们能找到一个阻滞体式吗？恰好，这个抒发式恰恰等于1/ζ(2)，其中ζ是黎曼ζ函数。运道的是，欧拉讲授了ζ(2) = π²/6。详细这些信息，咱们获得可见点的比例确凿地为图片
黎曼ζ函数界说为图片
当s > 1时，这个函数由欧拉在17世纪粗糙商量过。黎曼在一个世纪后商量了这个函数（黎曼ζ函数），但他是把它算作复数变量的函数来商量的，这么的商量揭示了这个函数的真实魔力和雄壮之处。欧拉找到了ζ函数的一个好意思艳的乘积公式，这基本上是算术基本定理的一个版块。他发现图片
当s > 1时，如若咱们将欧拉找到的ζ函数的乘积体式取倒数，并将s设定为2，就获得了1/ζ(2)竟然凿乘积抒发式。如若咱们在三维空间中提倡疏导的问题会若何？通过访佛的论证，不错表示，在三维网格中可见点的比例是1/ζ(3)。这个常数是数学中最奥秘的数字之一！莫得东说念主能找到它的阻滞体式抒发，谁如若找到了，将会宇宙有名。 本站仅提供存储就业，扫数内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。